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福岡県公立高校入試単元別出題(数学)

福岡県公立高校入試単元別出題(数学)

 

【計算・小問】

・円周角と平行線の錯角・同位角。

・樹形図を正確に書く。

・合同・相似の図形は必ず対応させて並べて書く。

・関数はグラフを書いてみる。

・度数分布と相対度数。最頻値と中央値。

・H25(9)相似を利用することに気づかないと難しい。

▢R2

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

平方根(分母の有理化)。

問4

1次方程式。

問5

等式変形。

問6

反比例。

問7

2次関数のグラフ作成。

問8

度数分布表(相対度数)。

問9

推定人数・無造作に抽出=比例式で解く。

▢H31

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

平方根(分母の有理化)。

問4

1次方程式。

問5

2次方程式。

問6

反比例。

問7

2次関数のグラフ作成。

問8

度数分布表(中央値)。

問9

推定人数・無造作に抽出=比例式で解く。

▢H30

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

平方根(分母の有理化)。

問4

1次方程式。

問5

2次方程式。

問6

ねじれの位置。

問7

確率(2つさいころ)。

問8

推定人数・無造作に抽出=比例式で解く。

問9

2次関数の選択。

▢H29

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

式の代入。

問4

平方根(分母の有理化)。

問5

1次方程式。

問6

2次方程式。

問7

2次関数(変域)。

問8

確率(5枚のカード)。

問9

度数分布表(相対度数)。

▢H28

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

式の代入。

問4

平方根(分母の有理化)。

問5

1次方程式。

問6

2次方程式。

問7

反比例。

問8

確率(赤玉と白玉と青玉)。

問9

度数分布表(相対度数・最頻値・中央値)。

▢H27

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

式の代入。

問4

平方根。

問5

1次方程式。

問6

2次方程式。

問7

2次関数。

問8

推定人数・無造作に抽出=比例式で解く。

問9

確率(2つのさいころ)。

▢H26

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

式の代入。

問4

平方根(分母の有理化)。

問5

1次方程式。

問6

2次方程式。

問7

反比例。

問8

確率(5枚のカード)。

問9

度数分布表(相対度数)。

▢H25

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

式の代入。

問4

平方根(分母の有理化)。

問5

1次方程式。

問6

2次方程式。

問7

2次関数。

問8

確率(赤玉と白玉)。

問9

△ACD∽△AFEを利用。

▢H24

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

式の代入。

問4

平方根(分母の有理化)。

問5

1次方程式。

問6

2次方程式。

問7

反比例。

問8

確率(2つのさいころ)。

問9

平行線の同位角。

▢H23

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

式の代入。

問4

平方根。

問5

1次方程式。

問6

因数分解。

問7

連立方程式。

問8

反比例。

問9

確率(4枚の硬貨)。

問10

推定個数・無造作に抽出=比例式で解く。

▢H22

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

式の代入。

問4

平方根。

問5

1次方程式。

問6

因数分解。

問7

2次方程式。

問8

2次関数。

問9

確率(2つのさいころ)。

問10

円周角の定理。

▢H21

問1

四則計算。

問2

文字式(分配法則)。

問3

式の代入。

問4

平方根。

問5

1次方程式。

問6

因数分解。

問7

2次方程式。

問8

2次関数。

問9

確率(赤玉と白玉)。

問10

円周角の定理。

 

【方程式(文章問題)】

・全体と割合(部分)の連立方程式。

・人数(個数)と金額の連立方程式。

・昨年度と今年度の対比。

・ABCの中でABで連立方程式をつくる問題。

・2パターンの連立方程式の考察。

▢R2

問1

2(x+2x)=土地の周の長さ。

問2

ア:(x-2)(2x-2)=264

イ:x×2x-264=x×2+2×2x-4

▢H29

問1

りんごx個、みかんy個とする。

袋数(x/3+y/7=60)と

金額(x/3×500+y/7×400=25900)の連立方程式。

問2

りんご3個入れた袋をx袋、

みかん7個入れた袋をy袋とする。

袋数(x+y=60)と

金額(500x+400y=25900)の連立方程式。

x=19、y=41 売れたりんごの個数:3×19=57 

売れたみかんの個数:7×41=287 

これは問題にあう。

▢H28

A中学校の生徒をx人、B中学校の生徒をy人とする。

全体(x=y+20)と

部分(0.7x+0.62y+123=(x+y+120)×0.65)の連立方程式。

x=320、y=300 A中学校の生徒で「自然豊かなまちになってほしい」と回答した人数:320×0.7=224

これは問題にあう。

▢H27

取り組みAを選んだ生徒をx人、Bを選んだ生徒をy人とする。

全体(x+y=200-10)と部分(2.4x+1.2y=421-7)の連立方程式。

x=155、y=35 取り組みAを選んだ生徒で1か月で削減できるCO2量:2.4×155=372

これは問題にあう。

▢H26

昨年度2月の窓口での予約冊数をx冊、

インターネットでの予約冊数をy冊とする。

昨年(x+y=1600)と

今年(0.6x+1.8y=1600×1.35)の連立方程式。

x=600、y=1000 今年度2月のインターネットでの予約冊数:1000×1.8=1800 これは問題にあう。

▢H25

先月集めたアルミ缶をx個、スチール缶をy個とする。

個数(x+y=4000)と金額(1.2x×2+1.1y=2x+y+1150)の連立方程式。

x=2500、y=1500 今月集めたアルミ缶の個数:2500×1.2=3000 これは問題にあう。

▢H24

今回の料理で使うほうれんそうをxg、

ブロッコリーをygする。

野菜1g中に含まれる冬どりのビタミンCの量:ほうれんそう0.6㎎・ブロッコリー1.4㎎

夏どりも同様に単位書き換え。

全体(x+y=400)と

部分(0.6x+1.4y=0.2x+0.8y+216)の連立方程式。

x=120、y=280 よって0.6×120=72㎎ 

これは問題にあう。

▢H23

厚紙が貼られていない模造紙の部分の幅をx㎝とする。

横=90-3x 縦=60-2x 厚紙の面積=1200×2

(90-3x)(60-2x)=1200×2の連立方程式。

x=10、50 幅は30㎝より小さいのでx=10 

これは問題にあう。

▢H22

A班をx人、B班をy人とする。

700円の1割引=630円 600円の2割引=480円

人数(x+y=70)と

金額(630x+480y=39600)の連立方程式。

x=36人、y=34人 これは問題にあう。

▢H21

A中学校の生徒をx人、B中学校の生徒をy人とする。

全体(x+y=600)と部分(40/100x+45/100y=258)の連立方程式。

x=240、y=360 よって240×40/100=96人 

これは問題にあう。

 

【文字式の利用・資料の整理】

・長い導入文に惑わされない。

・連続する⇨n、連続ではない⇨mとn。

・問題文の「調べたこと」「証明」の通り解いていく。

・度数分布と相対度数。

▢R2

問1

Dのマスに止まるのは2枚の和が3のときと7のとき。

問2

A・Cのマスの止まる確率の比較。樹形図の作成。

▢H31

問1

確率(赤玉と白玉)の取り出し方の選択。

問2

くじA・Bの樹形図、景品当たりやすさの確率の比較。

▢H31

問1

最初に決めた数が12のとき、手順通りに求めた数。

問2

3a-1で表される手順通りに求めた数から、最初に決めた数aをあてる方法の説明。

問3

数あてゲームの手順の変更の考察。

▢H30

問1

3n+1と表されるもの。

問2

連続する2つの3の倍数:3n、3n+3

▢H30

問1

相対度数で比較した方が良い点の記述。

導入文にヒント。

問2

A・B中学校の中央値を比較した記述。

▢H29

問1

2n+8⇨(n+1)+(n+7)=b+c 

2n+8⇨n+(n+8)=a+d

問2

証明②は証明①を真似してそのまま解く。

f=n+5、g=n+6、h=n+11

▢H28

問1

問題の「調べたこと」を参考に解く。

1~2の間の分母が5の分数。

問2

証明②は証明①を真似してそのまま解く。

分母が5に変わるだけ。

▢H27

異なる2つの奇数(連続ではない):2n+1、2m+1

▢H26

4つの偶数:2n、2n+2、2n+10、2n+12

▢H25

問1

平均値=階級値(各階級×度数)の和÷人数

問2

無造作に抽出=比例式で解く。4500:x=180:64

▢H24

A中学校:50人中24人⇨0.48 

B中学校:60人中27人⇨0.45

▢H23

表の同じ階でとなり合った2つの奇数:2n+1、2n+11

▢H22

連続する2つの奇数:2n-1、2n+1

▢H21

円すいAの体積V=1/3πr²h 

円すいBの体積W=1/3π(3r)²h/3

 

【関数】

・水そう。

・道のり速さ時間。

・問1,2はグラフから座標で解く。連立方程式。

・問3は交点=連立方程式で解く。

▢R2

問1

y=40x+1200(0≦x≦60)にy=3000を代入。

問2

Bの式:y=ax+2300(20≦x≦60)に

x=60、y=3300を代入。a=25

問3

A:y=30x+1800(60≦x≦90)…➀ 

C:y=15x+3000(60≦x≦90)…② 

➀②を連立方程式。

▢H31

問1

y=-80x+2100(0≦x≦9)にx=9を代入。

問2

Bの式:y=-75x+2375(9≦x≦23)にx=23を代入。

問3

A:y=-90x+2610(23≦x≦29)…➀ 

B:y=-63x+1890(23≦x≦29)…② 

➀②を連立方程式。

▢H30

問1

y=2x+3(0≦x≦5)にx=3を代入。

問2

2点(5,13)(9,27)で連立方程式。

y=7/2x-9/2(5≦x≦9)はP管+Q管

⇨Q管のみの傾き=7/2-2=3/2=1.5

問3

水そうAの式:y=2x+9(9≦x≦15)…① 

水そうBの式:y=4/3x+18…② 

➀②を連立方程式。

▢H29

問1

540÷9=60m/分

問2

y=150x+bに点(28,2400)を代入⇨y=150x-1800。

これにy=540を代入。

問3

B:y=-70x+3480…➀ A:y=150x-1800…② 

➀②を連立方程式。

▢H28

問1

120÷20=6m/秒

問2

A:y=4.5xにx=20を代入。

問3

B:y=-3x+bに点(-10,600)を代入⇨y=-3x+570…➀ 

バス:y=12-120(20≦x≦60)…②

➀②を連立方程式。

▢H27

問1

y=4x+18(0≦x≦13)にx=5を代入。

問2

2点(33,70)(40,98)で連立方程式。変域書き忘れに注意!

問3

やかん:y=8x+bに点(30,70)を代入⇨y=8x-170 

これにy=18を代入(沸かし始めの状態)。x=23.5

▢H26

問1

y=-3/4x+9(0≦x≦4)にx=4/3を代入。

問2

y=-1/4x+bに点(4,6)を代入。

問3

y=-3/4x+11(8≦x≦12)に午後4時=x=9を代入。

y=-1/2x+bは点(9,17/4)を通る

⇨中火の式:y=-1/2x+35/4 これにy=9を代入。

▢H25

問1

y=140x(0≦x≦5)にx=3を代入。

問2

y=200x+bに点(15,1600)を代入。

問3

妹は2点(-6,1600)(22,3000)を通る。妹:y=50x+1900

妹がQ点から同じ速さで戻った式:y=-50x+1300…①

A:y=90x+250(5≦x≦15)…②

➀②を連立方程式。

▢H24

問1

y=80xにx=3を代入。

問2

2点(5,1300)(10,900)で連立方程式。

問3

AとBは1分で20mの差。図2でのBの式:y=20x…➀ 

Cの式:y=-180x+2700(10≦x≦15)…② 

➀②を連立方程式。 

▢H23

問1

y=9x(0≦x≦10)にx=4を代入。

問2

2点(10,90)(20,240)で連立方程式。

問3

Aさん:y=6x+120(20≦x≦30) 

Bさん:点(27,282)を通る⇨y=12x-42 

y=0を代入⇨x=3.5 

▢H22

問1

y=180x(0≦x≦5)にx=4を代入。

問2

2点(5,900)(10,1200)で連立方程式。

問3

Aさん:y=-140x+4900(20≦x≦35)…①

Bさん:2点(12,0)(22,2100)を通る

⇨y=210x-2520(12≦x≦22)…②

①②を連立方程式。

▢H21

問1

y=3/2x+12(0≦x≦8)にx=6を代入。

問2

2点(24,24)(40,36)で連立方程式。

問3

b管の式:y=9/10x…① 

底面Bに入ってからのa管の式:y=3/2x-12…② 

➀②を連立方程式。

 

【平面図形】

・最短距離=垂線。

・垂線を引き直角三角形を作る⇨三平方の定理。

・証明は三角形を必ず並べて書く。

・円周角の定理。

・75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Hを引き、90°60°30°と90°45°45°に分割。

▢R2

問1

四角形PMBNは直線BPを対称の軸とする線対称な図形

問2

△MBP≡△NBP、MB=NB、MP=NP

問3

△ABD∽△FAE(2組の角がそれぞれ等しい)

問4

△ABDと△ADEは90°60°30°の直角三角形

DE=xとすると、AD=√3x⇨BD=3x

△ABD≡△CBD⇨△ABD=15/2

△ABD∽△FED=3:1より面積比9:1

△FED=15/2×1/9=5/6

△FED∽△GEO=1:2より面積比1:4

△GEO=5/6×4=10/3⇨四角形OGFD=10/3-5/6=5/2

△GEO≡△GBO=10/3

四角形BGFD=四角形OGFD+△GBO=5/2+10/3=35/6

▢H31

問1

△ADB≡△AED

問2

△ADE∽△ABC(2組の角がそれぞれ等しい)

問3

△ADOは直角二等辺三角形⇨三平方の定理

⇨AD²=4²+4²⇨AD=4√2

△ABCは正三角形⇨∠BCA=60°

弧AD:弧DB=3:1⇨∠DCA=45°、∠DCB=15°

∠DAB=15°(円周角の定理)⇨∠DAC=75°

△ADCは75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Fを引き、

90°60°30°と90°45°45°の直角三角形2つに分割。

△ADFは90°60°30°の直角三角形⇨DF=2√2、AF=2√6

△AFCは90°45°45°の直角三角形⇨FC=2√6

△ADC=(2√2+2√6)×2√6×1/2=4√3+12

▢H30

問1

△ABC≡△DCB⇨AB=DC、∠ABC=∠DCB

問2

△OCF∽△EDF(2組の角がそれぞれ等しい)

問3

∠ACB=∠DBC(仮定)、

∠ACB=∠ABD(円周角の定理)。

よって、△ABCと△DCBは90°60°30°の直角三角形

⇨BD=3√3、CD=3、CG=3/2

△DCB=3√3×3×1/2=9√3/2 

△GICは正三角形⇨GI=IC=3/2

△BOH∽△BIG=2:3、△BIG:△GIC=3:1より

四角形OIGH:△DCB=5:24⇨四角形OIGH=5/24×9√3/2=15√3/16

▢H29

問1

△AEC∽△ADB(2組の角がそれぞれ等しい)

問2

△ABDで三平方の定理⇨10²=BD²+(3BD)²

⇨BD=√10 AD=3√10

∠CDA=∠CDB=45°(円周角の定理)。

△BDFは直角二等辺三角形⇨DF=√10

△GDFは直角二等辺三角形⇨GD=GF=√5

△GFD:△EAD=1²:3²=1:9

△GDF=√5×√5×1/2=5/2 △EAD=5/2×9=45/2 

▢H28

問1

△BOCは二等辺三角形⇨OからBCに垂線OHを引くとOH=√5

△ABC=4×(3+√5)×1/2=6+2√5

問2

△BCD∽△EAF(2組の角がそれぞれ等しい)

▢H27

問1

△FBE∽△FCD(2組の角がそれぞれ等しい)

問2

ADは直径。△ADEは直角二等辺三角形⇨DE=4√2

△BADは90°60°30°の直角三角形⇨BD=4√3

△BDEは75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Hを引き、

90°60°30°と90°45°45°の直角三角形2つに分割。

BH=DH=2√6 HE=2√2 

△BDE=(2√6+2√2)×2√6×1/2=12+4√3

▢H26

問1

△ACD∽△FBA(2組の角がそれぞれ等しい)

問2

△BCDで三平方の定理⇨CD²=10²-6²⇨CD=8

△ABOは正三角形⇨∠ABF=∠ACD=60°(弧ADの円周角)

DからACに垂線DHを引く⇨△CDHは90°60°30°の直角三角形

▢H25

問1

△ADF∽△AEB(2組の角がそれぞれ等しい)

問2

△ABDは90°60°30°の直角三角形⇨AD=2√3

△OCGは90°60°30°の直角三角形⇨OG=2/√3

△AHGは90°60°30°の直角三角形⇨AH=√3+1

DH=AD-AH=√3-1

▢H24

問1

△EBC∽△ABD(2組の角がそれぞれ等しい)

問2

△BOAは直角二等辺三角形⇨∠OAB=45°

△OADは正三角形⇨AD=2、∠OAD=60°

△ADPは75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Hを引き、

90°60°30°と90°45°45°の直角三角形2つに分割。

AH=√3、AP=√6

▢H23

問1

∠ADB=45°(∠AOB=90°)より∠BDC=15°

△CBDで∠CBD=180°-(90°+15°)

問2

△DEC∽△ABC(2組の角がそれぞれ等しい)

問3

△ACD∽△ADEに着目!

△AODは直角二等辺三角形⇨AD=3√2

△ACDは75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Hを引き、

90°60°30°と90°45°45°の直角三角形2つに分割。

△ACDにおいてAC=3√3 

AC:AD=△ACD:△ADE=3:2

▢H22

問1

△GHE∽△IHD(2組の角がそれぞれ等しい)

問2

△BCEは90°60°30°の直角三角形⇨CE=2√3

△ECDで三平方の定理⇨DE²=4²+(2√3)²⇨DE=2√7

問3

△BGFは90°60°30°の直角三角形⇨BG=3、EG=GA=1

△CIFも90°60°30°の直角三角形⇨CI=1、DI=3

△GEH:△IHD=1:3⇨GH:HI=1:3

△GBF:△ICF=3:1⇨GI:IF=2:1

GH:HI:IF=1:3:2⇨GH:HF=1:5

▢H21

問1

△AED∽△CED(2組の角がそれぞれ等しい)

問2

CPが最短=垂線(CPは△ABCの高さ)。

台形ABCDの面積64。△ACDの面積16。

△ABCの面積64-16=48 

DFの延長線とBCの交点をGとする。

AD//DGよりAD=DG 

△DGCで三平方の定理⇨DG²=8²+8²⇨AD=8√2

△ABC=8√2×CP×1/2=48⇨CP=6√2 

△ACPで三平方の定理⇨AP=2√2

問3

AF:FC=1:2より△FBC=2/3△ABC

 

【立体図形】

・最短距離=展開図で考える。

・垂線を引き直角三角形を作る⇨三平方の定理。

・最短距離=垂線。

・円周角の定理。おうぎ形の計算。

・75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Hを引き、90°60°30°と90°45°45°に分割。

▢R2

問1

辺や面の位置関係。

問2

AM・BF・CNの延長線の交点をLとする。

三角すいLMFN=(3×2×1/2)×3×1/3=3

三角すいLABC=(6×4×1/2)×6×1/3=24

頂点Fを含む立体の堆積=24-3=21

問3

JからHGに垂線JKを引く。

△GKJ∽△GHD=2:3⇨HK=2

△HIKで三平方の定理⇨IK=√13

△IJKで三平方の定理⇨IJ=√17

▢H31

問1

(36π×4×1/3)+(36π×5)=228π

問2

△ABG∽△ACF=4:9⇨面積比=16:81

問3

Mから円Cに垂線MHを引く⇨MH=7

HCの延長線とFからHCの延長線に引いた垂線との交点をIとする。

△CFIは90°60°30°の直角三角形⇨CI=3、IF=3√3

△HFIで三平方の定理⇨HF=3√7

△HFMで三平方の定理⇨MF=4√7

▢H30

問1

△ODE:△OAB=1³:3³=1:27

頂点Aをふくむ立体の体積:正四面体OABC=26:27

問2

△ABC、△OBCは二等辺三角形⇨AG=OG=4√3

△HGO∽△GOA⇨HO=6

HからOGに垂線HJを引く。

△HGOはOH=GHの二等辺三角形⇨OJ=2√3

よって三平方の定理よりHJ=2√6

△HGO=4√3×2√6×1/2=12√2

△HGO:△GOA=(√3)²:2²=3:4

⇨△HGO:△AGH=3:1

△AGH=4√3×HI×1/2=1/3×12√2⇨HI=2√6/3

▢H29

問1

ねじれの位置。

問2

HからQPに垂線HMを引く。

△GHMは90°60°30°の直角三角形⇨HM=2

△HMQは90°60°30°の直角三角形

⇨QM=2/√3 QP=4/√3

三角すいBHPQ=(4/√3×2×1/2)×6×1/3=8√3/3

問3

△GABで三平方の定理⇨GB=KD=2√13

BからGJに垂線BNを引く。

△GBNで三平方の定理⇨BN=4√3

台形BCJG=(4+8)×4√3×1/2=24√3⇨△ADR=12√3

△AKEで三平方の定理⇨AK=2√21

KからADに垂線KOを引く。

△AKOで三平方の定理⇨AO²+KO²=(2√21)²

△DKOで三平方の定理⇨(8-AO)²+KO²=(2√13)²

よってKO=4√3

△AKD=8×4√3×1/2=16√3

12√3:16√3=DR:2√13⇨DR=3√13/2

▢H28

問1

ねじれの位置。

問2

最短距離は展開図。

EBの延長線とDAの延長線の交点をMとする。

△ABMは90°60°30°の直角三角形⇨AM=2 BM=2√3

△EDMで三平方の定理⇨ED²=6²+(3√3)² ED=3√7

問3

△DKJ:△DBC=1:2⇨KJ=2

△BJD:△BCD=1:2(底面積の比)

△AKJはAJ=AK=2√3の二等辺三角形。

LからKJに垂線LPを引く。AからKJに垂線AOを引く。

△LKJで三平方の定理⇨LK²+LJ²=2²

△ALJで三平方の定理⇨(2√3-LK)²+LJ²=(2√3)²

これよりLK=√3/3

△LKP:△AKO=√3/3:2√3=1:6

⇨LP:AO=1:6(高さの比)

三角すいLBJD:正四面体ABCD=1×1:2×6=1:12

▢H27

問1

ねじれの位置。

問2

正四角すいAFGHI:正四角すいABCDE=1:8

頂点Aを含まない立体の体積:正四角すいABCDE=7:8

正四角すいFBCDE:正四角すいABCDE=1:2=4:8

頂点Aを含まない立体の体積:正四角すいFBCDE=7:4

問3

JからEDに垂線JLを引く。KからEDに垂線KMを引く。

台形JKDE=(2+6)×JL(高さ)×1/2=24⇨JL=6

△JELで三平方の定理⇨JE=2√10

JからBEにAEと平行な線JNを引く。JからBEに垂線JOを引く。

BN=4 NE=2 OE=4

△JOEで三平方の定理⇨JO=2√6

△JBOで三平方の定理⇨JB=2√7

AB=AC=3√7

▢H26

問1

△BOM:△BCA=1:2⇨OM=9

問2

9π×6√2×1/2=18√2

問3

最短距離は展開図。

円Oの円周=おうぎ形Aの弧の長さ=12π

おうぎ形Aの中心角a 12π=36π×a/360⇨a=120°

△AB´C=正三角形⇨△AMP∽△CB´P=1:2

AP=AC×1/3=6

▢H25

問1

四角すいAFGHI:四角すいABCDE=2:3(相似比)

四角すいAFGHI:四角すいABCDE=8:27(体積比)

問2

△FGHで三平方の定理⇨FH=4√2

FからBCに垂線FJを引く⇨

△FBJは90°60°30°の直角三角形

⇨BJ=1、FJ=√3

△FJCで三平方の定理⇨FC=2√7、同様にHC=2√7

△CFHは二等辺三角形。

GからFHに垂線GKを引く⇨FK=2√2

△FCKで三平方の定理⇨CK=2√5

△CFH=4√2×2√5×1/2⇨4√10

問3

最短距離は展開図。

BAの延長線とEDの延長線の交点をLとする。

∠BAC=∠CAD=60°より∠LAD=60°

△LADは90°60°30°の直角三角形⇨AL=3 LD=3√3

△PLSで三平方の定理⇨PS²=8²+(4√3)² PS=4√7

▢H24

問1

円すいAMN:円すいABC=1:2(相似比)

円すいAMN:円すいABC=1:8(体積比)

問2

DからBCに垂線DEを引く。

△DBE:△ABC=2:3⇨DE=2√5、EC=2

△CDEで三平方の定理⇨CD=2√6

△CDPで三平方の定理⇨DP=2√15

問3

円Cの円周=おうぎ形Aの弧の長さ=12π

おうぎ形Aの中心角a 12π=18π×a/360⇨a=240°

∠BAP=60°より△ABPは正三角形。

PからABに垂線PEを引く。AE=9/2

△AEPで三平方の定理⇨PE=9√3/2

DE=AE-AD=3/2

△DEPで三平方の定理⇨DP=3√7

▢H23

問1

ねじれの位置。

問2

最短距離は展開図。

△ACQ:△ADI=7:12⇨AQ=13×7/12

△ABP:△ADI=4:12⇨AP=13×4/12

PQ=AQ-AP=13/4

問3

IからFGに垂線IKを引く。

△FIG=五角形FGHIJ-△IJF-△IHG

FHに平行でGを通る線とJFの延長線との交点をL、IHの延長線との交点をMとする。

GM=xとすると、LG=5-x

三平方の定理より、FL²=4²-(5-x)² HM²=3²-x²

FL=HMより、4²-(5-x)²=3²-x² x=9/5

よって、△FIG=31-25/2-9/2=14

4×IK×1/2=14⇨IK=7

四角すいDABGF=20×7×1/3=140/3

▢H22

問1

ねじれの位置。

問2

△ABDは二等辺三角形。△ABD=12×2√7×1/2=12√7

問3

最短距離は展開図。

FからABに垂線FHを引く。GからAEに垂線GIを引く。

GからFHに垂線GJを引く。

△BHFは90°60°30°の直角三角形

⇨BH=5/2 HF=5√3/2

△EIGは90°60°30°の直角三角形⇨IE=3/2

 IG=HJ=3√3/2

よってHI=JG=16-(5/2+3/2)=12 JF=HF-HJ=√3

△JFGで三平方の定理⇨FG=7√3

▢H21

問1

ねじれの位置。

問2

△FCAで三平方の定理⇨FA=6√5

△FAB=6×6√5×1/2=18√5

問3

△FMCを底面とすると、

三角すいMFCB=(12×6×1/2)×6×1/3=72