福岡県公立高校入試単元別出題（数学）
【計算・小問】
・円周角と平行線の錯角・同位角。
・樹形図を正確に書く。
・合同・相似の図形は必ず対応させて並べて書く。
・関数はグラフを書いてみる。
・度数分布と相対度数。最頻値と中央値。
・Ｈ２５（９）相似を利用することに気づかないと難しい。
▢R４
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
平方根。
問４
２次方程式。
問５
反比例。
問６
確率（５枚のカードから２枚取り出す）。
問７
２次関数のグラフ作成。
問８
度数分布表（相対度数）。
問９
推定人数・無造作に抽出＝比例式で解く。
▢R３
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
平方根（分母の有理化）。
問４
２次方程式。
問５
確率（４枚の硬貨で少なくとも１枚は表）。
問６
２次関数の変域。
問７
反比例のグラフ作成。
問８
三平方の定理。
問９
円周角の定理。
▢R２
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
平方根（分母の有理化）。
問４
１次方程式。
問５
等式変形。
問６
反比例。
問７
２次関数のグラフ作成。
問８
度数分布表（相対度数）。
問９
推定人数・無造作に抽出＝比例式で解く。
▢H３１
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
平方根（分母の有理化）。
問４
１次方程式。
問５
２次方程式。
問６
反比例。
問７
２次関数のグラフ作成。
問８
度数分布表（中央値）。
問９
推定人数・無造作に抽出＝比例式で解く。
▢H３０
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
平方根（分母の有理化）。
問４
１次方程式。
問５
２次方程式。
問６
ねじれの位置。
問７
確率（２つさいころ）。
問８
推定人数・無造作に抽出＝比例式で解く。
問９
２次関数の選択。
▢H２９
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
式の代入。
問４
平方根（分母の有理化）。
問５
１次方程式。
問６
２次方程式。
問７
２次関数（変域）。
問８
確率（５枚のカード）。
問９
度数分布表（相対度数）。
▢H２８
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
式の代入。
問４
平方根（分母の有理化）。
問５
１次方程式。
問６
２次方程式。
問７
反比例。
問８
確率（赤玉と白玉と青玉）。
問９
度数分布表（相対度数・最頻値・中央値）。
▢H２７
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
式の代入。
問４
平方根。
問５
１次方程式。
問６
２次方程式。
問７
２次関数。
問８
推定人数・無造作に抽出＝比例式で解く。
問９
確率（２つのさいころ）。
▢H２６
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
式の代入。
問４
平方根（分母の有理化）。
問５
１次方程式。
問６
２次方程式。
問７
反比例。
問８
確率（５枚のカード）。
問９
度数分布表（相対度数）。
▢H２５
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
式の代入。
問４
平方根（分母の有理化）。
問５
１次方程式。
問６
２次方程式。
問７
２次関数。
問８
確率（赤玉と白玉）。
問９
△ACD∽△AFEを利用。
▢H２４
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
式の代入。
問４
平方根（分母の有理化）。
問５
１次方程式。
問６
２次方程式。
問７
反比例。
問８
確率（２つのさいころ）。
問９
平行線の同位角。
▢H２３
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
式の代入。
問４
平方根。
問５
１次方程式。
問６
因数分解。
問７
連立方程式。
問８
反比例。
問９
確率（４枚の硬貨）。
問１０
推定個数・無造作に抽出＝比例式で解く。
▢H２２
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
式の代入。
問４
平方根。
問５
１次方程式。
問６
因数分解。
問７
２次方程式。
問８
２次関数。
問９
確率（２つのさいころ）。
問１０
円周角の定理。
▢H２１
問１
四則計算。
問２
文字式（分配法則）。
問３
式の代入。
問４
平方根。
問５
１次方程式。
問６
因数分解。
問７
２次方程式。
問８
２次関数。
問９
確率（赤玉と白玉）。
問１０
円周角の定理。
【方程式（文章問題）】
・全体と割合（部分）の連立方程式。
・人数（個数）と金額の連立方程式。
・昨年度と今年度の対比。
・ABCの中でABで連立方程式をつくる問題。
・２パターンの連立方程式の考察。
▢R２
問１
2(x＋2x)＝土地の周の長さ。
問２
ア：(x－2)(2x－2)＝264
イ：x×2x－264＝x×2＋2×2x－4
▢H２９
問１
りんごx個、みかんy個とする。
袋数（x/3＋y/7＝60）と
金額（x/3×500＋y/7×400＝25900）の連立方程式。
問２
りんご３個入れた袋をx袋、
みかん７個入れた袋をy袋とする。
袋数（x＋y＝60）と
金額（500x＋400y＝25900）の連立方程式。
x＝19、y=41 売れたりんごの個数：3×19＝57
売れたみかんの個数：7×41＝287
これは問題にあう。
▢H２８
A中学校の生徒をx人、B中学校の生徒をy人とする。
全体（x＝y＋20）と
部分（0.7x＋0.62y＋123＝(x＋y＋120)×0.65）の連立方程式。
x＝320、y=300 A中学校の生徒で「自然豊かなまちになってほしい」と回答した人数：320×0.7＝224
これは問題にあう。
▢H２７
取り組みAを選んだ生徒をx人、Bを選んだ生徒をy人とする。
全体（x＋y＝200－10）と部分（2.4x＋1.2y＝421－7）の連立方程式。
x＝155、y=35 取り組みAを選んだ生徒で１か月で削減できるCO２量：2.4×155＝372
これは問題にあう。
▢H２６
昨年度２月の窓口での予約冊数をx冊、
インターネットでの予約冊数をy冊とする。
昨年（x＋y＝1600）と
今年（0.6x＋1.8y＝1600×1.35）の連立方程式。
x＝600、y=1000 今年度２月のインターネットでの予約冊数：1000×1.8＝1800 これは問題にあう。
▢H２５
先月集めたアルミ缶をx個、スチール缶をy個とする。
個数（x＋y＝4000）と金額（1.2x×2＋1.1y＝2x＋y＋1150）の連立方程式。
x＝2500、y=1500 今月集めたアルミ缶の個数：2500×1.2＝3000 これは問題にあう。
▢H２４
今回の料理で使うほうれんそうをxg、
ブロッコリーをygする。
野菜１g中に含まれる冬どりのビタミンCの量：ほうれんそう0.6㎎・ブロッコリー1.4㎎
夏どりも同様に単位書き換え。
全体（x＋y＝400）と
部分（0.6x＋1.4y＝0.2x＋0.8y＋216）の連立方程式。
x＝120、y=280 よって0.6×120＝72㎎
これは問題にあう。
▢H２３
厚紙が貼られていない模造紙の部分の幅をx㎝とする。
横＝90－3x 縦＝60－2x 厚紙の面積＝1200×2
(90－3x)(60－2x)＝1200×2の連立方程式。
x＝10、50 幅は30㎝より小さいのでx＝10
これは問題にあう。
▢H２２
A班をx人、B班をy人とする。
700円の１割引＝630円 600円の２割引＝480円
人数（x＋y＝70）と
金額（630x＋480y＝39600）の連立方程式。
x＝36人、y=34人 これは問題にあう。
▢H２１
A中学校の生徒をx人、B中学校の生徒をy人とする。
全体（x＋y＝600）と部分（40/100x＋45/100y＝258）の連立方程式。
x＝240、y=360 よって240×40/100＝96人
これは問題にあう。
【文字式の利用・資料の整理】
・長い導入文に惑わされない。
・連続する⇨n、連続ではない⇨mとn。
・問題文の「調べたこと」「証明」の通り解いていく。
・度数分布と相対度数。
▢R４
問１
箱ひげ図の読み取り。
問２
中央値と四分位範囲の数値の大小を比較した記述。
▢R３
問１
度数分布表（相対度数）。
問２
中央値もしくは最頻値を使った比較の記述。
▢R４
問１
半円と長方形を組み合わせた形の池の面積の式。
問２
道の面積と道の真ん中を通る線の長さの式。
▢R３
問１
連続する２つの偶数：２m、２m＋１
問２
n、n＋２と表される→差が２である２つの整数。
n＋(n＋２)＋１＝(n＋１)²→もとの２つの数の間の整数。
問３
問２を利用。
連続する３つの整数の和＋１→真ん中の数の２乗。
ならば、連続する５つの整数の和＋？
→真ん中の数の２乗と予測し、
実際に数字を当てはめてみる。
気づかなければ、時間を掛けずに後回しにする問題。
▢R２
問１
Dのマスに止まるのは２枚の和が３のときと７のとき。
問２
A・Cのマスの止まる確率の比較。樹形図の作成。
▢H３１
問１
確率（赤玉と白玉）の取り出し方の選択。
問２
くじA・Bの樹形図、景品当たりやすさの確率の比較。
▢H３１
問１
最初に決めた数が１２のとき、手順通りに求めた数。
問２
３a－１で表される手順通りに求めた数から、最初に決めた数aをあてる方法の説明。
問３
数あてゲームの手順の変更の考察。
▢H３０
問１
３n＋１と表されるもの。
問２
連続する２つの３の倍数：３n、３n＋３
▢H３０
問１
相対度数で比較した方が良い点の記述。
導入文にヒント。
問２
A・B中学校の中央値を比較した記述。
▢H２９
問１
２n＋８⇨(ｎ＋１)＋(ｎ＋７)＝b＋c
２n＋８⇨ｎ＋(ｎ＋８)＝a＋d
問２
証明②は証明①を真似してそのまま解く。
f＝n＋５、g＝n＋６、h＝n＋１１
▢H２８
問１
問題の「調べたこと」を参考に解く。
１～２の間の分母が５の分数。
問２
証明②は証明①を真似してそのまま解く。
分母が５に変わるだけ。
▢H２７
異なる２つの奇数（連続ではない）：２n＋１、２m＋１
▢H２６
４つの偶数：２n、２n＋２、２n＋１０、２n＋１２
▢H２５
問１
平均値＝階級値（各階級×度数）の和÷人数
問２
無造作に抽出＝比例式で解く。4500：x＝180:64
▢H２４
A中学校：50人中24人⇨0.48
B中学校：60人中27人⇨0.45
▢H２３
表の同じ階でとなり合った２つの奇数：２n＋１、２n＋１１
▢H２２
連続する２つの奇数：２n－１、２n＋１
▢H２１
円すいAの体積V＝1/3πr²h
円すいBの体積W＝1/3π(3r)²h/3
【関数】
・水そう。
・道のり速さ時間。
・問１,２はグラフから座標で解く。連立方程式。
・問３は交点＝連立方程式で解く。
▢R４
問１
0≦x≦2における式：y＝－500x＋4200にx＝1.5を代入。
問２
2≦x≦5における式を求める。
y＝－700x＋bに(2,3200)を代入。
問３
加湿器Bの式を２点(2,4000)(7,200)を代入。
加湿器B：y＝－800x＋5800と
加湿器A：y＝－300x＋2600(5≦x≦8)
を連立するとx＝6.4となり、午後6時24分。
▢R３
問１
0≦x≦30における式：y＝80xにx＝11を代入。
問２
y＝－75x＋5400にｙ＝2400を代入。
x＝40となりB(40,2400)とわかる。
これをy＝200x＋bに代入するとb＝－5600となり、
姉の式：y＝200x－5600。これにy＝0を代入。
問３
兄は10時5分出発なので座標(65,0)を通り、
10時38分着なので座標(98,0)を通る。
兄が家から駅を往復する時間は33分間である。
駅に15分滞在し、
残りの18分間を同じ速さで往復するので、
家から駅に着くまでにかかった時間は9分となる。
兄の式をy＝ax＋bとおき、２点(65,0)(74,900)を代入。
兄の式：y＝100x－6500…➀
60≦x≦75における式：y＝－60x＋4500…②
➀②を連立方程式。x＝68.75となり、10時8分45秒。
▢R２
問１
y＝40x＋1200(0≦x≦60)にｙ＝3000を代入。
問２
Bの式：y=ａx＋2300(20≦x≦60)に
x＝60、ｙ＝3300を代入。ａ＝25
問３
A：y＝30x＋1800(60≦x≦90)…➀
C：y＝15x＋3000(60≦x≦90)…②
➀②を連立方程式。
▢H３１
問１
y＝－80x＋2100(0≦x≦9)にx＝9を代入。
問２
Bの式：y=－75x＋2375(9≦x≦23)にx＝23を代入。
問３
A：y＝－90x＋2610(23≦x≦29)…➀
B：y＝－63x＋1890(23≦x≦29)…②
➀②を連立方程式。
▢H３０
問１
y＝2x＋3(0≦x≦5)にx＝3を代入。
問２
２点(5,13)(9,27)で連立方程式。
y＝7/2x－9/2(5≦x≦9)はP管＋Q管
⇨Q管のみの傾き＝7/2－2＝3/2＝1.5
問３
水そうAの式：y＝2x＋9(9≦x≦15)…①
水そうBの式：y＝4/3x＋18…②
➀②を連立方程式。
▢H２９
問１
540÷9＝60ｍ/分
問２
y=150x＋bに点(28,2400)を代入⇨y＝150x－1800。
これにy＝540を代入。
問３
B：y＝－70x＋3480…➀ A：y＝150x－1800…②
➀②を連立方程式。
▢H２８
問１
120÷20＝6ｍ/秒
問２
Ａ：y＝4.5xにx＝20を代入。
問３
B：y＝－3x＋bに点(－10,600)を代入⇨y＝－3x＋570…➀
バス：y＝12－120(20≦x≦60)…②
➀②を連立方程式。
▢H２７
問１
y＝4x＋18(0≦x≦13)にx＝5を代入。
問２
２点(33,70)(40,98)で連立方程式。変域書き忘れに注意！
問３
やかん：y＝8x＋bに点(30,70)を代入⇨y＝8x－170
これにy＝18を代入（沸かし始めの状態）。x＝23.5
▢H２６
問１
y＝－3/4x＋9(0≦x≦4)にx＝4/3を代入。
問２
y=－1/4x＋bに点(4,6)を代入。
問３
y＝－3/4x＋11(8≦x≦12)に午後4時＝x＝9を代入。
y＝－1/2x＋bは点(9,17/4)を通る
⇨中火の式：y＝－1/2x＋35/4 これにy＝9を代入。
▢H２５
問１
y＝140x(0≦x≦5)にx＝3を代入。
問２
y=200x＋bに点(15,1600)を代入。
問３
妹は２点(－6,1600)(22,3000)を通る。妹：y＝50x＋1900
妹がQ点から同じ速さで戻った式：y＝－50x＋1300…①
A：y＝90x＋250(5≦x≦15)…②
➀②を連立方程式。
▢H２４
問１
y＝80xにx＝3を代入。
問２
２点(5,1300)(10,900)で連立方程式。
問３
AとBは1分で20ｍの差。図２でのＢの式：y＝20x…➀
Cの式：y＝－180x＋2700(10≦x≦15)…②
➀②を連立方程式。
▢H２３
問１
y＝9x(0≦x≦10)にx＝4を代入。
問２
２点(10,90)(20,240)で連立方程式。
問３
Aさん：y＝6x＋120(20≦x≦30)
Bさん：点(27,282)を通る⇨y＝12x－42
y＝0を代入⇨x＝3.5
▢H２２
問１
y＝180x(0≦x≦5)にx＝4を代入。
問２
２点(5,900)(10,1200)で連立方程式。
問３
Aさん：y＝－140x＋4900(20≦x≦35)…①
Bさん：２点(12,0)(22,2100)を通る
⇨y＝210x－2520(12≦x≦22)…②
①②を連立方程式。
▢H２１
問１
y＝3/2x＋12(0≦x≦8)にx＝6を代入。
問２
２点(24,24)(40,36)で連立方程式。
問３
b管の式：y＝9/10x…①
底面Bに入ってからのa管の式：y＝3/2x－12…②
➀②を連立方程式。
【平面図形】
・最短距離＝垂線。
・垂線を引き直角三角形を作る⇨三平方の定理。
・証明は三角形を必ず並べて書く。
・円周角の定理。
・75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Hを引き、90°60°30°と90°45°45°に分割。
▢Ｒ４
問１
△ABCと相似な三角形。
問２
△ABE≡△ACD、円周角の定理。
（１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい）
問３
△ABE≡△ACDよりBE＝CD＝４、AE＝AD
弧BCと弧CDの円周角は等しいので
∠CBD＝∠CDB＝30°より△BCDは二等辺三角形。
CからBDに垂線を引くと
90°60°30°の直角三角形ができる。
三平方の定理よりBD＝4√3。
△ABDは75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Fを引き、
90°60°30°と90°45°45°の直角三角形２つに分割。
三平方の定理よりBF(=FD)＝2√6。
三平方の定理よりAD(=AE)＝4√2。
▢Ｒ３
問１
四角形AFCEは平行四辺形であることの証明。
問２
△DGE≡△BHF
（１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい）
問３
△BHF∽△AHE＝1：4よりBH：AH＝１：４
△BHF：△AHF＝面積比1：4
△AFB：△AFC＝面積比1：4より面積比５：20
よって△OFCの面積比は10とおける。
△BHFの面積比１なので
四角形HBCOの面積比は９となる。
平行四辺形AFCEの面積比は40なので、
40：９＝12：四角形HBCOを解けばよい。
▢Ｒ２
問１
四角形ＰＭＢＮは直線ＢＰを対称の軸とする線対称な図形
問２
△MBP≡△NBP、MB=NB、MP＝NP
問３
△ABD∽△FAE（２組の角がそれぞれ等しい）
問４
△ABDと△ADEは90°60°30°の直角三角形
DE＝xとすると、AD＝√3x⇨BD＝3x
△ABD≡△CBD⇨△ABD＝15/2
△ABD∽△FED＝3：1より面積比9：1
△FED＝15/2×1/9＝5/6
△FED∽△GEO＝1：2より面積比1：4
△GEO＝5/6×4＝10/3⇨四角形OGFD＝10/3－5/6＝5/2
△GEO≡△GBO＝10/3
四角形BGFD＝四角形OGFD＋△GBO＝5/2＋10/3＝35/6
▢H３１
問１
△ADB≡△AED
問２
△ADE∽△ABC（２組の角がそれぞれ等しい）
問３
△ADOは直角二等辺三角形⇨三平方の定理
⇨AD²＝4²＋4²⇨AD＝4√2
△ABCは正三角形⇨∠BCA＝60°
弧AD：弧DB＝3：１⇨∠DCA＝45°、∠DCB＝15°
∠DAB＝15°（円周角の定理）⇨∠DAC＝75°
△ADCは75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Fを引き、
90°60°30°と90°45°45°の直角三角形２つに分割。
△ADFは90°60°30°の直角三角形⇨DF＝2√2、AF＝2√6
△AFCは90°45°45°の直角三角形⇨FC＝2√6
△ADC＝(2√2＋2√6)×2√6×1/2＝4√3＋12
▢H３０
問１
△ABC≡△DCB⇨AB＝DC、∠ABC＝∠DCB
問２
△OCF∽△EDF（２組の角がそれぞれ等しい）
問３
∠ACB＝∠DBC（仮定）、
∠ACB＝∠ABD（円周角の定理）。
よって、△ABCと△DCBは90°60°30°の直角三角形
⇨BD＝3√3、CD＝3、CG=3/2
△DCB＝3√3×3×1/2＝9√3/2
△GICは正三角形⇨GI＝IC=3/2
△BOH∽△BIG＝2：3、△BIG：△GIC＝3：1より
四角形OIGH：△DCB＝5：24⇨四角形OIGH＝5/24×9√3/2＝15√3/16
▢H２９
問１
△AEC∽△ADB（２組の角がそれぞれ等しい）
問２
△ABDで三平方の定理⇨10²＝BD²＋(3BD)²
⇨BD＝√10 AD＝3√10
∠CDA＝∠CDB＝45°（円周角の定理）。
△BDFは直角二等辺三角形⇨DF＝√10
△GDFは直角二等辺三角形⇨GD＝GF＝√5
△GFD：△EAD＝1²：3²＝1：9
△GDF＝√5×√5×1/2＝5/2 △EAD＝5/2×9＝45/2
▢H２８
問１
△BOCは二等辺三角形⇨OからBCに垂線OHを引くとOH＝√5
△ABC＝4×(3＋√5)×1/2＝6＋2√5
問２
△BCD∽△EAF（２組の角がそれぞれ等しい）
▢H２７
問１
△FBE∽△FCD（２組の角がそれぞれ等しい）
問２
ADは直径。△ADEは直角二等辺三角形⇨DE＝4√2
△BADは90°60°30°の直角三角形⇨BD＝4√3
△BDEは75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Hを引き、
90°60°30°と90°45°45°の直角三角形２つに分割。
BH＝DH＝2√6 HE＝2√2
△BDE＝(2√6＋2√2)×2√6×1/2＝12＋4√3
▢H２６
問１
△ACD∽△FBA（２組の角がそれぞれ等しい）
問２
△BCDで三平方の定理⇨CD²＝10²－6²⇨CD＝8
△ABOは正三角形⇨∠ABF＝∠ACD=60°（弧ADの円周角）
DからACに垂線DHを引く⇨△CDHは90°60°30°の直角三角形
▢H２５
問１
△ADF∽△AEB（２組の角がそれぞれ等しい）
問２
△ABDは90°60°30°の直角三角形⇨AD＝2√3
△OCGは90°60°30°の直角三角形⇨OG＝2/√3
△AHGは90°60°30°の直角三角形⇨AH＝√3＋1
DH=AD－AH＝√3－1
▢H２４
問１
△EBC∽△ABD（２組の角がそれぞれ等しい）
問２
△BOAは直角二等辺三角形⇨∠OAB＝45°
△OADは正三角形⇨AD＝2、∠OAD＝60°
△ADPは75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Hを引き、
90°60°30°と90°45°45°の直角三角形２つに分割。
AH＝√3、AP＝√6
▢H２３
問１
∠ADB＝45°（∠AOB＝90°）より∠BDC＝15°
△CBDで∠CBD＝180°－(90°＋15°）
問２
△DEC∽△ABC（２組の角がそれぞれ等しい）
問３
△ACD∽△ADEに着目！
△AODは直角二等辺三角形⇨AD＝3√2
△ACDは75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Hを引き、
90°60°30°と90°45°45°の直角三角形２つに分割。
△ACDにおいてAC＝3√3
AC：AD＝△ACD：△ADE＝3：2
▢H２２
問１
△GHE∽△IHD（２組の角がそれぞれ等しい）
問２
△BCEは90°60°30°の直角三角形⇨CE＝2√3
△ECDで三平方の定理⇨DE²＝4²＋(2√3)²⇨DE＝2√7
問３
△BGFは90°60°30°の直角三角形⇨BG＝3、EG=GA＝1
△CIFも90°60°30°の直角三角形⇨CI＝1、DI＝3
△GEH：△IHD＝1:3⇨GH：HI＝1:3
△GBF：△ICF＝3:1⇨GI：IF＝2:1
GH：HI：IF＝1：3：2⇨GH：HF＝1：5
▢H２１
問１
△AED∽△CED（２組の角がそれぞれ等しい）
問２
CPが最短＝垂線（CPは△ABCの高さ）。
台形ABCDの面積64。△ACDの面積16。
△ABCの面積64－16＝48
DFの延長線とBCの交点をGとする。
AD//DGよりAD＝DG
△DGCで三平方の定理⇨DG²＝8²＋8²⇨AD＝8√2
△ABC＝8√2×CP×1/2＝48⇨CP＝6√2
△ACPで三平方の定理⇨AP＝2√2
問３
AF：FC＝1:2より△FBC＝2/3△ABC
【立体図形】
・最短距離＝展開図で考える。
・垂線を引き直角三角形を作る⇨三平方の定理。
・最短距離＝垂線。
・円周角の定理。おうぎ形の計算。
・75°60°45°の三角形⇨75°の角から垂線Hを引き、90°60°30°と90°45°45°に分割。
▢R４
問１
辺や面の位置関係。ねじれの位置・平行・垂直。
問２
最短距離は展開図。MPDが一直線。
相似比でAP=５を導く。
問３
△ACJの2/5が△AQJ。
三平方の定理よりAC＝CJ＝5√５。
△ACJは二等辺三角形。
三平方の定理より底辺AJ＝5√2。
▢R３
問１
辺や面の位置関係。ねじれの位置・平行・垂直。
問２
四角形KFGJが台形と気づくとJLがその高さになる。
(２＋６)×JF×1/2＝16√５
問３
複雑な体積＝全体から差し引くパターン。
三角すいCDHE＝(6×5×1/2)×6×1/3＝30
三角すいBCEP＝(6×6×1/2)×2×1/3＝12
三角すいFGHP＝(6×6×1/2)×3×1/3＝18
三角すいFGIP＝(6×6×1/2)×3×1/3＝18
三角すいCGHP＝(6×5×1/2)×6×1/3＝30
三角すいEIHP＝(6×5×1/2)×6×1/3＝30
これらを直方体から差し引く。
180－(30＋12＋18＋18＋30＋30)＝42
▢R２
問１
辺や面の位置関係。
問２
AM・BF・CNの延長線の交点をLとする。
三角すいLMFN＝(3×2×1/2)×3×1/3＝3
三角すいLABC＝(6×4×1/2)×6×1/3＝24
頂点Fを含む立体の体積＝24－3＝21
問３
JからHDに垂線JKを引く。
△JKD∽△GHD＝2：3⇨HK＝2
△HIKで三平方の定理⇨IK＝√13
△IJKで三平方の定理⇨IJ＝√17
▢H３１
問１
(36π×4×1/3)＋(36π×5)＝228π
問２
△ABG∽△ACF＝4：9⇨面積比＝16：81
問３
Mから円Cに垂線MHを引く⇨MH＝7
HCの延長線とFからHCの延長線に引いた垂線との交点をIとする。
△CFIは90°60°30°の直角三角形⇨CI＝3、IF＝3√3
△HFIで三平方の定理⇨HF＝3√7
△HFMで三平方の定理⇨MF＝4√7
▢H３０
問１
△ODE：△OAB＝1³：3³＝1：27
頂点Aをふくむ立体の体積：正四面体OABC＝26：27
問２
△ABC、△OBCは二等辺三角形⇨AG＝OG＝4√3
△HGO∽△GOA⇨HO＝6
HからOGに垂線HJを引く。
△HGOはOH＝GHの二等辺三角形⇨OJ＝2√3
よって三平方の定理よりHJ＝2√6
△HGO＝4√3×2√6×1/2＝12√2
△HGO：△GOA＝(√3)²：2²＝3：4
⇨△HGO：△AGH＝3：1
△AGH＝4√3×HI×1/2＝1/3×12√2⇨HI＝2√6/3
▢H２９
問１
ねじれの位置。
問２
HからQPに垂線HMを引く。
△GHMは90°60°30°の直角三角形⇨HM＝2
△HMQは90°60°30°の直角三角形
⇨QM＝2/√3 QP＝4/√3
三角すいBHPQ＝(4/√3×2×1/2)×6×1/3＝8√3/3
問３
△GABで三平方の定理⇨GB＝KD＝2√13
BからGJに垂線BNを引く。
△GBNで三平方の定理⇨BN＝4√3
台形BCJG＝(4＋8)×4√3×1/2＝24√3⇨△ADR＝12√3
△AKEで三平方の定理⇨AK＝2√21
KからADに垂線KOを引く。
△AKOで三平方の定理⇨AO²＋KO²＝(2√21)²
△DKOで三平方の定理⇨(8－AO)²＋KO²＝(2√13)²
よってKO=4√3
△AKD＝8×4√3×1/2＝16√3
12√3：16√3＝DR：2√13⇨DR=3√13/2
▢H２８
問１
ねじれの位置。
問２
最短距離は展開図。
EBの延長線とDAの延長線の交点をMとする。
△ABMは90°60°30°の直角三角形⇨AM＝2 BM＝2√3
△EDMで三平方の定理⇨ED²＝6²＋(3√3)² ED=3√7
問３
△DKJ：△DBC＝1：2⇨KJ＝2
△BJD：△BCD＝1：2（底面積の比）
△AKJはAJ＝AK＝2√3の二等辺三角形。
LからKJに垂線LPを引く。AからKJに垂線AOを引く。
△LKJで三平方の定理⇨LK²＋LJ²＝2²
△ALJで三平方の定理⇨(2√3－LK)²＋LJ²＝(2√3)²
これよりLK＝√3/3
△LKP：△AKO＝√3/3：2√3＝1：6
⇨LP：AO＝1：6（高さの比）
三角すいLBJD：正四面体ABCD＝1×1：2×6＝1：12
▢H２７
問１
ねじれの位置。
問２
正四角すいAFGHI：正四角すいABCDE＝1：8
頂点Aを含まない立体の体積：正四角すいABCDE＝7：8
正四角すいFBCDE：正四角すいABCDE＝1：2＝4：8
頂点Aを含まない立体の体積：正四角すいFBCDE＝7：4
問３
JからEDに垂線JLを引く。KからEDに垂線KMを引く。
台形JKDE＝(2＋6)×JL(高さ)×1/2＝24⇨JL＝6
△JELで三平方の定理⇨JE＝2√10
JからBEにAEと平行な線JNを引く。JからBEに垂線JOを引く。
BN＝4 NE＝2 OE＝4
△JOEで三平方の定理⇨JO＝2√6
△JBOで三平方の定理⇨JB＝2√7
AB＝AC＝3√7
▢H２６
問１
△BOM：△BCA＝1：2⇨OM＝9
問２
9π×6√2×1/２＝18√2
問３
最短距離は展開図。
円Oの円周＝おうぎ形Aの弧の長さ＝12π
おうぎ形Aの中心角a 12π＝36π×a/360⇨a＝120°
△ABC＝正三角形⇨△AMP∽△CBP＝1：2
AP=AC×１/3＝6
▢H２５
問１
四角すいAFGHI：四角すいABCDE＝2：3（相似比）
四角すいAFGHI：四角すいABCDE＝8：27（体積比）
問２
△FGHで三平方の定理⇨FH＝4√2
FからBCに垂線FJを引く⇨
△FBJは90°60°30°の直角三角形
⇨BJ＝１、FJ＝√3
△FJCで三平方の定理⇨FC＝2√7、同様にHC=2√7
△CFHは二等辺三角形。
GからFHに垂線GKを引く⇨FK＝2√2
△FCKで三平方の定理⇨CK＝2√5
△CFH＝4√2×2√5×１/２⇨4√10
問３
最短距離は展開図。
BAの延長線とEDの延長線の交点をLとする。
∠BAC＝∠CAD＝60°より∠LAD＝60°
△LADは90°60°30°の直角三角形⇨AL＝3 LD＝3√3
△PLSで三平方の定理⇨PS²＝8²＋(4√3)² PS=4√7
▢H２４
問１
円すいAMN：円すいABC＝1：2（相似比）
円すいAMN：円すいABC＝1：8（体積比）
問２
DからBCに垂線DEを引く。
△DBE：△ABC＝2：3⇨DE＝2√5、EC＝2
△CDEで三平方の定理⇨CD＝2√6
△CDPで三平方の定理⇨DP＝2√15
問３
円Cの円周＝おうぎ形Aの弧の長さ＝12π
おうぎ形Aの中心角a 12π＝18π×a/360⇨a＝240°
∠BAP＝60°より△ABPは正三角形。
PからABに垂線PEを引く。AE＝9/2
△AEPで三平方の定理⇨PE＝9√3/2
DE=AE－AD＝3/2
△DEPで三平方の定理⇨DP＝3√7
▢H２３
問１
ねじれの位置。
問２
最短距離は展開図。
△ACQ：△ADI＝7：12⇨AQ＝13×7/12
△ABP：△ADI＝4：12⇨AP=13×4/12
PQ＝AQ－AP＝13/4
問３
IからFGに垂線IKを引く。
△FIG＝五角形FGHIJ－△IJF－△IHG
FHに平行でGを通る線とJFの延長線との交点をL、IHの延長線との交点をMとする。
GM=xとすると、LG＝5－x
三平方の定理より、FL²＝4²－(5－x)² HM²＝3²－x²
FL＝HMより、4²－(5－x)²＝3²－x² x＝9/5
よって、△FIG＝31－25/2－9/2＝14
4×IK×1/2＝14⇨IK=7
四角すいDABGF＝20×7×1/3＝140/3
▢H２２
問１
ねじれの位置。
問２
△ABDは二等辺三角形。△ABD＝12×2√7×１/２＝12√7
問３
最短距離は展開図。
FからABに垂線FHを引く。GからAEに垂線GIを引く。
GからFHに垂線GJを引く。
△BHFは90°60°30°の直角三角形
⇨BH＝5/２ HF＝5√3/２
△EIGは90°60°30°の直角三角形⇨IE＝3/２
IG＝HJ＝3√3/２
よってHI＝JG＝16－(5/２＋3/２)＝12 JF＝HF－HJ＝√3
△JFGで三平方の定理⇨FG＝7√3
▢H２１
問１
ねじれの位置。
問２
△FCAで三平方の定理⇨FA＝6√5
△FAB＝6×6√5×１/２＝18√5
問３
△FMCを底面とすると、
三角すいMFCB＝(12×6×１/２)×6×１/3＝72
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